Un
gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo
problema, hay un gran descubrimiento. El problema que se plantea puede ser
modesto; pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las
facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar
el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. (Polya, 1984, p. 7).
Partiendo
de esta idea, es posible decir que el docente tiene en sus manos la maravillosa
tarea de despertar la curiosidad de
sus estudiantes a través del planteamiento de problemas matemáticos. Para ello,
es importante que le presente a sus estudiantes situaciones variadas y que estimulen la reflexión, pero también es
necesario que les proporcione las
herramientas y recursos que los anime a descubrir por sí mismos las soluciones
a los problemas presentados. En este sentido, se hace imprescindible que el
maestro conozca, las diversas estrategias de resolución de problemas que han
propuesto investigadores y expertos en el área.
Las estrategias para resolver problemas se
refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar
sobre la representación de las metas y los datos, con el fin de transformarlos
y obtener una solución (Poggioli, 1999). Estas estrategias comprenden: (a) los
métodos herurísticos, algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.
Los métodos heurísticos
Son
“estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizados por los
solucionadores de problemas, basadas en
la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican
vías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución.
Este
método no constituye en sí mismo una estrategia sino un conjunto de
procedimientos generales que permiten seleccionar las estrategias más adecuadas
que acerquen a la solución.
Los métodos heurísticos pueden ser:
a)
generales, que se pueden aplicar a una gran área de dominio
b)
específicos, que se refieren a un área de conocimiento en
particular. Los métodos heurísticos específicos sostienen que la eficiencia de
un individuo para resolver un problema está relacionada con el conocimiento
sobre el área en cuestión que posea el mismo. En tal sentido, autores como
Mayer y Stenberg (citados por Poggioli, 1999) han señalado que los tipos de
conocimientos necesarios para resolver un problema incluyen: el conocimiento declarativo (conceptual),
conocimiento lingüístico, referido
al lenguaje como palabras, frases, oraciones, entre otros; conocimiento semántico, es decir significado de las palabras o
términos; conocimiento esquemático, que se refiere a los diferentes tipos de
problemas; conocimiento procedimental,
es decir, de los algoritmos u operaciones necesarias para resolver el problema;
conocimiento estratégico que se refiere a los tipos de conocimientos y de los
métodos heurísticos.
Los
métodos heurísticos generales (Poggioli, 1999):
a) Trabajar en sentido inverso. Este
procedimiento de trabajar de atrás hacia delante es usado en Geometría y
consiste en convertir las metas en datos y partir de allí resolver el problema.
De acuerdo con Salazar (2000), esta estrategia es parecida a la que se utiliza
en la vida diaria, cuando por ejemplo, se pierde un objeto y se trata de
visualizar o desandar los pasos realizados con el fin de determinar donde se
pudo haber perdido el objeto.
b) Subir
la cuesta. Consiste en avanzar desde la situación actual a otra que esté
más próxima a la meta, de manera que el solucionador, al encontrarse en ese
estado más cercano, evalúe el nuevo estado en el que esté después de cada
posible movimiento, pudiendo seleccionar siempre el que éste más próximo de la
meta.
c)
Análisis medios-fin. Se basa en la
descomposición de la meta en submetas para luego ir solucionándolas en forma
individual, una a una, hasta completar la solución final.
Otras
estrategias heurísticas que según Salazar (2000), permiten la resolución de
problemas se refieren a:
a)
Ensayo
y error: Es una estrategia útil para resolver cierto tipo de
problemas como por ejemplo los de selección, en donde se proporcionan varias
alternativas de posibles soluciones y el individuo debe probar cada una, hasta
llegar a la respuesta correcta.
b)
Hacer
un dibujo: permite representar los datos o información que
suministra el problema, esta estrategia es de gran utilidad ya que permite
visualizar mejor la situación planteada y por ende contribuye a que el
estudiante comprenda mejor y genere nuevas ideas de resolución. De acuerdo con
Salazar (2000) la representación visual, permite comprender los conceptos y
condiciones mucho mejor que las frases verbales, dicha estrategia se fundamenta
en el principio: de que una imagen vale más que mil palabras.
c) Resolver
un problema más simple: Consiste en simplificar el problema, resolverlo con
cantidades pequeñas o tratar de plantearse uno relacionado, pero más sencillo.
Ello puede ayudar a entender el problema, por lo que se puede enseñar a los
alumnos para que utilicen esta estrategia cuando les cueste comprender una
situación dada.
d). El uso de
algoritmos. Se refiere a procedimientos más específicos que indican paso a
paso la solución de un problema. Los algoritmos, al contrario de los métodos
heurísticos, constituyen estrategias específicas que garantizan el alcance de
los objetivos o solución del problema. Sin embargo, cabe destacar que los
procedimientos heurísticos son más útiles que los algoritmos cuando no se
conoce la solución del problema.
f). Procesos de
pensamiento divergente. Como su nombre lo indica, se refiere a una
estrategia relacionada con la creatividad, originalidad e inspiración, implica
la generación de perspectivas o enfoques alternativos de solución.
Estas
ayudas no deben ser enseñadas como las únicas, sino por el contrario deben
permitir al alumno reflexionar sobre ellas para que pueda ir adquiriendo de
manera paulatina las destrezas y habilidades que le faciliten resolver
cualquier problema que se le presente. De esta manera, podrá ir adquiriendo
autonomía e independencia en el proceso, a tal punto de llegar a sentir el
encanto del descubrimiento del que habla Polya. (1984).
Recomendaciones
de García (2002) partiendo de los procedimientos heurísticos propuestos por
Polya (1984):
Proponer
a los alumnos problemas con diferentes
tipos de contextos, es decir, plantear al estudiante situaciones distintas
y variadas relacionadas tanto con experiencias de la vida real, tales como
ideas ficticias, con el fin de despertar la curiosidad e interés de los
estudiantes a través de la creatividad de las situaciones planteadas.
1)
Proponer
problemas variados, en cuanto al número de soluciones, es decir, una
solución, varias soluciones; sin solución. Es importante plantear diferentes
tipos de problemas, con enunciados diversos en donde los estudiantes requieran
utilizar procesos cognoscitivos para resolver cada situación y no caer en la
rutina de presentar los mismos tipos de problemas que conllevan a un proceso de
resolución mecánico y memorístico.
2)
Presentar problemas variados desde el punto
de vista de la adecuación de los datos, es decir, usar datos completos,
incompletos, superfluos, o presentar datos que sobran. Esta recomendación,
obliga al estudiante a leer y entender el problema antes de comenzar a concebir
el plan de resolución, pues debe saber primero cual de la información
suministrada es realmente un insumo para alcanzar la solución.
3)
Poner
el acento sobre los procesos de resolución y no solamente sobre los cálculos y
las soluciones, en este sentido, recomienda al docente a trabajar
haciendo énfasis en los procesos desarrollados por los estudiantes más que en
los resultados, pues al fin y al cabo es el proceso lo que va a transferir el
estudiante cuando requiera enfrentarse a otra situación similar en el futuro.
4)
Animar
a los estudiantes a comunicar oralmente o por escrito lo esencial del proceso
de resolución de problemas. Para ello se recomienda pedir al
estudiante que verbalice o escriba el proceso que siguió para resolver el
problema, de esta manera el docente puede conocer (con las propias palabras de
los alumnos) los procesos mentales y procedimientos que utilizaron para llegar
a la solución, y al mismo tiempo se estaría valorando las propias estrategias
de los estudiantes y ayudar a otros alumnos que tienen mayores dificultades en
esta área.
5) Diversificar
las actividades de resolución de problemas, lo que requiere un enunciado y
pedir cuál podría ser la pregunta del problema ante un conjunto de datos. En
ella se pide elegir aquellos que encajan en la pregunta del problema. Dada la
incógnita, se pregunta por los datos. Esto le permite al docente salir de la
rutina y planificar con anticipación los enunciados de los problemas a trabajar
en sus clases plantear situaciones diversas y variadas que permitan al
estudiante a reflexionar, analizar y razonar, para concebir un plan que le
permita obtener la solución de los problemas dados.
Schoenfeld
plantea la importancia de entrenar a los estudiantes en la selección adecuada y
uso de estrategias para resolver con eficacia los problemas planteados. Entre
las actividades de aprendizaje que pueden ser útiles para ayudar a los alumnos
destaca:
a)
Resolver problemas nuevos... en la clase con la finalidad de mostrar a los
estudiantes las decisiones tomadas durante el proceso de resolver problemas
b) Mostrar
vídeos de otros estudiantes resolviendo problemas a las clases. Esto con la
finalidad de discutir las destrezas y debilidades mostradas por los estudiantes
en el proceso de resolver problemas
c) Actuar
como moderador mientras los estudiantes discuten problemas en la clase...;
(dividir la clase en pequeños grupos los cuales discuten problemas matemáticos.
El papel del coordinador es elaborar preguntas que ayuden a los estudiantes a
reflexionar en lo que están haciendo...
d) Relacionar las actividades de aprendizaje que
se llevan a cabo en el aula con las actividades que desarrollan los
matemáticos, pues esta es la única manera que los estudiantes le encuentren
razón de ser a la Matemáticas.
Baroody (1994), quien sostiene que
generalmente los niños suelen tener éxito en los problemas rutinarios, porque
son problemas mecánicos, repetitivos y de formato sencillo, que no requieren
ningún tipo de análisis de su parte. Estos problemas pueden asimilarse con
rapidez y para su comprensión sólo basta una lectura superficial del enunciado.
Por el contrario, los problemas genuinos requieren de un análisis cuidadoso que
implica definir el problema, planificar la posible estrategia para la solución,
poner en práctica la estrategia planificada y comprobar los resultados. Para
Baroody, un análisis cuidadoso del problema requiere de los siguientes aspectos:
1)
La
Comprensión: que consiste en definir claramente la
incógnita o meta del problema, y que ayuda a seleccionar la información que se
necesita para resolver el problema así como los métodos más adecuados para
ello.
2)
Uso de
técnicas para la resolución de problemas: cuando un alumno se enfrenta
con un problema genuino, es decir, no rutinario puede emplear las técnicas o
estrategias que contribuyan al análisis del mismo, las cuales se denominan
“heurísticas”, según Polya. Por ejemplo, una técnica heurística para entender
mejor un problema, puede ser la representación del problema a través de un
dibujo. Es importante que los niños usen técnicas para analizar el problema,
pues de lo contrario se les tornará muy difícil resolver un problema no
rutinario.
3)
Motivación: los
estudiantes deben estar motivados para realizar el esfuerzo que exige un
análisis detallado que le llevará a la solución del mismo.
4)
Flexibilidad:
consiste en la adaptación rápida de los recursos existentes para satisfacer las
demandas de una tarea nueva. El estudiante debe sentirse con plena libertad
para ensayar respuestas, equivocarse, probar una y otra vez hasta descubrir por
sí mismo la solución de las situaciones planteadas.
El
CENAMEC (citado por Cañas y Herrera, 1996), recomienda que en la enseñanza de
resolución de problemas, se consideren los eventos propuestos por Gagné y
Brunner, en cuanto a:
·
la motivación
·
la activación de los conceptos previos que le
facilite el análisis de los elementos nuevos
·
la representación gráfica como apoyo para luego
pasar a la representación simbólica
·
la ejercitación de problemas tantos parecidos
como novedosos para que se lleve a cabo la transferencia a nuevas situaciones.
Finalmente, a continuación se presenta una síntesis de las
propuestas anteriores con algunas Consideraciones
para el desarrollo de estrategias de enseñanza de resolución de problemas de adición
y sustracción:
1)
Los problemas que se plantean en la escuela
deben estar relacionados con el contexto
de los estudiantes, es decir, con la situación real en la cual se desenvuelven,
pues esto despertará la curiosidad e interés en los escolares.
2)
El docente debe diseñar previamente un programa secuenciado de resolución de
problemas, a través del cual establezca los tipos de problemas que trabajará y
el grado de dificultad de los mismos de acuerdo al nivel de los escolares. Es
necesario que el docente sea cuidadoso para tratar de plantear problemas
adecuados al nivel del estudiante, no tan fácil como para que no reflexione, ni
tan difícil como para que el estudiante se frustre y se sienta incapaz de
afrontar la solución del problema.
3)
Los
enunciados de los problemas se deben
redactar con un lenguaje claro, preciso, utilizando palabras relacionadas con la realidad de los
estudiantes, además deben ser creativos,
originales y novedosos. Es importante evitar la práctica de caer en el
planteamiento de problemas y ejercicios rutinarios, siempre iguales en el
estilo, pues esto conlleva a que los alumnos los resuelvan en forma mecánica y
memorística, sin algún esfuerzo cognitivo por parte de los estudiantes.
4)
Se recomienda a los docentes orientar a sus
estudiantes para utilizar estrategias o técnicas para resolver los problemas
matemáticos. Pueden tomarse ideas de los métodos heurísticos o presentarles
adaptaciones de ellos. entre ello permitirán que tracen algún lineamiento que
le facilite la resolución de los problemas. Asimismo, es recomendable explicar
a los estudiantes que, inicialmente deben leer el problema con atención y tratar
de comprenderlo, antes de ponerse en marcha hacia la búsqueda de la solución.
Se puede sugerir técnicas que los ayude a comprender mejor el problema, tales
como usar dibujos, representar gráficamente los datos, hacerse preguntas
relacionadas con el problema, entre otros. La idea es entrenar al estudiante en
la adquisición de estrategias y habilidades para alcanzar las soluciones a los
problemas planteados. También es conveniente que el docente valore las
estrategias propias que desarrollan los propios estudiantes, y pedirles que las
verbalicen de manera oral y escrita, con el fin de orientarlos y explicarles
las bondades o limitaciones que pudieran tener. Polva (1984) señala lo
siguiente:
“El estudiante debe adquirir en su trabajo
personal la más amplia experiencia posible. Pero si se le deja solo frente a su
problema, sin ayuda alguna o casi ninguna, puede que no progrese. Por otra parte, si el maestro le ayuda
demasiado, nada se le deja al alumno. El maestro debe ayudarle, pero no mucho
ni demasiado poco, de suerte que le deje asumir una parte razonable del
trabajo” (op. cit., p. 23).
5)
Es necesario que el docente considere y así lo
haga ver a sus estudiantes, que no existe una manera única de resolver
problemas. Puede ocurrir que éstos descubran estrategias o técnicas distintas
de resolver una situación a las que conozca y maneje el maestro, así como
también puede suceder que un mismo problema sea resuelto de manera diferente
por los alumnos. Por ello, resulta esencial que los escolares comparen las
estrategias que han utilizado y descubran cuales son equivalentes porque,
aunque no sean idénticas, conducen al mismo resultado
6)
Los docentes deben animar a los estudiantes a
anticipar resultados, lo les permiten evaluar la corrección o no de las
operaciones realizadas. De no ser así, es fácil que los estudiantes acepten
como correctos los resultados que son ilógicos, puesto que confían más en los
procedimientos adquiridos mecánicamente que en su propio razonamiento.
7)
Es frecuente encontrar entre los estudiantes la
búsqueda de palabras claves como una técnica para descubrir la(s) operación(es)
que deberá efectuar para resolver correctamente el problema. Si bien es cierto
que esta estrategia puede resultar exitosa muchas veces entre los estudiantes,
quienes se confían en que, por ejemplo, si en el problema aparecen términos
como todos juntos, más que, etc. significa que se debe aplicar la operación de
la suma, sin embargo, en muchas situaciones esta técnica no es aplicable y por
el contrario puede conllevar a una interpretación inadecuada del problema y
lleve a resolverlo de manera incorrecta (Rizo y Campistrous,1999)
Finalmente, puede
señalarse que las ideas propuestas anteriormente para la enseñanza de la
resolución de problemas matemáticos son importantes, por cuanto que todas ellas
han sido planteada como producto de investigación y estudios de diferentes
autores y expertos en el área, lo que ha llevado a plantear métodos posibles de
resolución de problemas, con el uso de estrategias y técnicas, algunas más
generales y otras más específicas, pero que al fin y al cabo proporcionan
aportes interesantes que pueden ser adoptadas y adaptados para ser usadas en la
práctica docente de cada día.
Referencias bibliográficas
Mayer, R. E. (2010). Aprendizaje e instrucción.
Madrid: Alianza Editorial.
Pérez, Y., & Ramírez, R. (2011). Estrategias de
enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. Fundamentos teóricos y
metodológicos. Revista de Investigación, 35(73).
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